La propagazione degli errori, detta anche propagazione dell'incertezza, è il processo mediante il quale si calcola l'incertezza in una funzione a partire dalle incertezze delle sue variabili di input. In altre parole, se hai una formula che utilizza misure sperimentali e ognuna di queste misure ha un'incertezza, la propagazione degli errori ti permette di stimare l'incertezza nel risultato finale della formula.
Prima di esaminare come gli errori si propagano, è importante distinguere i diversi tipi di errori:
L'incertezza in una misurazione (x) è tipicamente rappresentata come Δx (delta x). Questa incertezza può essere espressa in diversi modi:
Data una funzione f
di più variabili indipendenti x, y, z, ...
:
f = f(x, y, z, ...)
L'incertezza in f
(Δf) può essere stimata utilizzando la seguente formula (basata sulla derivata parziale):
Δf ≈ √[ (∂f/∂x * Δx)² + (∂f/∂y * Δy)² + (∂f/∂z * Δz)² + ... ]
Dove:
∂f/∂x
, ∂f/∂y
, ∂f/∂z
, ... sono le derivate parziali di f
rispetto a x
, y
, z
, ... rispettivamente.Δx
, Δy
, Δz
, ... sono le incertezze in x
, y
, z
, ... rispettivamente.Questa formula presuppone che gli errori nelle variabili di input siano indipendenti e casuali.
Per alcune operazioni comuni, è possibile utilizzare regole semplificate derivate dalla formula generale:
Addizione e Sottrazione: Se f = x + y
o f = x - y
, allora Δf = √(Δx² + Δy²)
. Si sommano in quadratura gli errori assoluti. Vedi anche https://it.wikiwhat.page/kavramlar/addizione%20e%20sottrazione
Moltiplicazione e Divisione: Se f = x * y
o f = x / y
, allora (Δf/f) = √[(Δx/x)² + (Δy/y)²]
. Si sommano in quadratura gli errori relativi. Vedi anche https://it.wikiwhat.page/kavramlar/moltiplicazione%20e%20divisione
Potenza: Se f = xⁿ
, allora Δf/f = |n| * (Δx/x)
. L'errore relativo viene moltiplicato per il valore assoluto dell'esponente. Vedi anche https://it.wikiwhat.page/kavramlar/potenza
Funzioni con Costanti: Se f = a * x
(dove a
è una costante senza incertezza), allora Δf = |a| * Δx
. L'incertezza viene moltiplicata per il valore assoluto della costante.
Supponiamo di voler calcolare l'area di un rettangolo, A = l * w
, dove la lunghezza l = 10 ± 0.2 cm
e la larghezza w = 5 ± 0.1 cm
.
L'area calcolata è A = 10 * 5 = 50 cm²
.
L'incertezza nell'area può essere calcolata utilizzando la regola per la moltiplicazione:
(ΔA/A) = √[(Δl/l)² + (Δw/w)²] = √[(0.2/10)² + (0.1/5)²] = √(0.0004 + 0.0004) = √0.0008 ≈ 0.0283
ΔA = A * (ΔA/A) = 50 * 0.0283 ≈ 1.415 cm²
Quindi, l'area del rettangolo è A = 50 ± 1.4 cm²
.
La propagazione degli errori è uno strumento essenziale per valutare l'affidabilità dei risultati sperimentali. Comprendere i principi e le tecniche di propagazione degli errori permette di stimare l'incertezza nei calcoli e prendere decisioni più informate basate sui dati sperimentali. Vedi anche https://it.wikiwhat.page/kavramlar/valutazione%20dei%20risultati%20sperimentali
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