Propagazione degli Errori

La propagazione degli errori, detta anche propagazione dell'incertezza, è il processo mediante il quale si calcola l'incertezza in una funzione a partire dalle incertezze delle sue variabili di input. In altre parole, se hai una formula che utilizza misure sperimentali e ognuna di queste misure ha un'incertezza, la propagazione degli errori ti permette di stimare l'incertezza nel risultato finale della formula.

Tipi di Errori

Prima di esaminare come gli errori si propagano, è importante distinguere i diversi tipi di errori:

• Errori Sistematici: Sono errori costanti o prevedibili che influenzano tutte le misurazioni allo stesso modo. Ad esempio, uno strumento di misura non calibrato. Questi errori non possono essere ridotti dalla propagazione degli errori.
• Errori Casuali (o Statistici): Sono errori imprevedibili che variano da una misurazione all'altra. Questi errori possono essere stimati e ridotti con metodi statistici. La propagazione degli errori si concentra principalmente su questi tipi di errori.

Rappresentazione dell'Incertezza

L'incertezza in una misurazione (x) è tipicamente rappresentata come Δx (delta x). Questa incertezza può essere espressa in diversi modi:

• Errore Assoluto: L'errore assoluto (Δx) indica l'intervallo entro il quale si pensa che si trovi il valore reale.
• Errore Relativo: L'errore relativo è l'errore assoluto diviso per il valore misurato (Δx/x). Spesso espresso in percentuale.

Formula Generale per la Propagazione degli Errori

Data una funzione f di più variabili indipendenti x, y, z, ...:

f = f(x, y, z, ...)

L'incertezza in f (Δf) può essere stimata utilizzando la seguente formula (basata sulla derivata parziale):

Δf ≈ √[ (∂f/∂x * Δx)² + (∂f/∂y * Δy)² + (∂f/∂z * Δz)² + ... ]

Dove:

• ∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z, ... sono le derivate parziali di f rispetto a x, y, z, ... rispettivamente.
• Δx, Δy, Δz, ... sono le incertezze in x, y, z, ... rispettivamente.

Questa formula presuppone che gli errori nelle variabili di input siano indipendenti e casuali.

Casi Speciali e Regole Semplificate

Per alcune operazioni comuni, è possibile utilizzare regole semplificate derivate dalla formula generale:

• Addizione e Sottrazione: Se f = x + y o f = x - y, allora Δf = √(Δx² + Δy²). Si sommano in quadratura gli errori assoluti. Vedi anche https://it.wikiwhat.page/kavramlar/addizione%20e%20sottrazione

• Moltiplicazione e Divisione: Se f = x * y o f = x / y, allora (Δf/f) = √[(Δx/x)² + (Δy/y)²]. Si sommano in quadratura gli errori relativi. Vedi anche https://it.wikiwhat.page/kavramlar/moltiplicazione%20e%20divisione

• Potenza: Se f = xⁿ, allora Δf/f = |n| * (Δx/x). L'errore relativo viene moltiplicato per il valore assoluto dell'esponente. Vedi anche https://it.wikiwhat.page/kavramlar/potenza

• Funzioni con Costanti: Se f = a * x (dove a è una costante senza incertezza), allora Δf = |a| * Δx. L'incertezza viene moltiplicata per il valore assoluto della costante.

Esempio

Supponiamo di voler calcolare l'area di un rettangolo, A = l * w, dove la lunghezza l = 10 ± 0.2 cm e la larghezza w = 5 ± 0.1 cm.

L'area calcolata è A = 10 * 5 = 50 cm².

L'incertezza nell'area può essere calcolata utilizzando la regola per la moltiplicazione:

(ΔA/A) = √[(Δl/l)² + (Δw/w)²] = √[(0.2/10)² + (0.1/5)²] = √(0.0004 + 0.0004) = √0.0008 ≈ 0.0283

ΔA = A * (ΔA/A) = 50 * 0.0283 ≈ 1.415 cm²

Quindi, l'area del rettangolo è A = 50 ± 1.4 cm².

Considerazioni Importanti

• Indipendenza: La formula generale presuppone che le variabili siano indipendenti. Se le variabili sono correlate, è necessario utilizzare una formula più complessa che tenga conto della covarianza.
• Linearizzazione: La formula generale è un'approssimazione lineare. Funziona meglio quando le incertezze sono piccole rispetto ai valori delle variabili.
• Cifre Significative: L'incertezza dovrebbe essere espressa con una o due cifre significative. Il valore misurato dovrebbe essere arrotondato per corrispondere alla precisione dell'incertezza. Vedi anche https://it.wikiwhat.page/kavramlar/cifre%20significative
• Errori Sistematici: La propagazione degli errori si concentra principalmente sugli errori casuali. Gli errori sistematici devono essere identificati e corretti prima di poter applicare la propagazione degli errori.
• Strumenti: Esistono diversi strumenti software e calcolatori online che possono aiutare a eseguire la propagazione degli errori.

Conclusione

La propagazione degli errori è uno strumento essenziale per valutare l'affidabilità dei risultati sperimentali. Comprendere i principi e le tecniche di propagazione degli errori permette di stimare l'incertezza nei calcoli e prendere decisioni più informate basate sui dati sperimentali. Vedi anche https://it.wikiwhat.page/kavramlar/valutazione%20dei%20risultati%20sperimentali